A sus 28 años, el físico, matemático y astrónomo irlandés W. R. Hamilton revolución la teoría de la luz y contribuyó notablemente al desarrollo de la Óptica, la dinámica y el algebra.

El pequeñito Willy distraía en demasía a su padre, hombre de negocios, por lo que este decidió ponerlo bajo la tutela del tío James, maestro de escuela y reverendo de una iglesia a 20 kilómetros de Dublín.

A los tres años el niño leía perfectamente en inglés y exhibía grandes conocimientos de Aritmética. A los cinco leía y traducía latín, griego y hebreo. A los ocho dominaba el italiano y el francés. A los 10, el persa y el árabe, basado en sus conocimientos del sánscrito, caldeo y sirio…, y empezó a estudiar el chino. A los 13 años (1818), dominaba otros tantos idiomas.

Esa manía idiomática se frenó poco antes de cumplir los 14, cuando Zerah Colburn, joven calculador norteamericano, le confió a Hamilton sus trucos de cálculo, basados en su memoria prodigiosa.

Este encuentro con el calculador alejó al prodigioso y famoso irlandés de su pasión por los idiomas y lo orientó hacia la ciencia, por lo que a los 17 años estaba leyendo con ansia a Newton y Lagrange, pues ya dominaba el cálculo integral y la astronomía matemática.

Algunos descubrimientos curiosos

En esa época el joven Hamilton ya había hecho algunos descubrimientos curiosos, como comunicó por carta a algunos de sus familiares, probablemente los gérmenes de su primera gran obra: “En óptica, he hecho un descubrimiento muy curioso, al menos así me lo parece…”.

Entre estas nuevas ideas, estaba la descripción geométrica de los rayos de luz: “Un rayo debe ser considerado como una línea recta o curva por la que se propaga la luz; y un sistema de rayos, como una colección de tales líneas, con un origen común. Así, los rayos que divergen desde un punto luminoso componen un sistema óptico, y, después que se han reflejado en un espejo, componen otro”.

Hamilton analizaba cómo se comportan los rayos en diferentes medios: si divergen o convergen, si son paralelos, la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción, sus combinaciones en haces, etc. Además, formalizó la dinámica de estos haces de manera global e independiente de la naturaleza del proceso óptico, de modo que su teoría podía aplicarse posteriormente a otros procesos físicos.

Con estos textos, Hamilton renovó las concepciones iniciales sobre la óptica, como las teorías algebraicas de Malus, un oficial de ingenieros del ejército de Napoleón en Egipto, que descubrió la polarización de la luz y propuso un extenso tratado matemático sobre su propagación. La dificultad de los cálculos hamiltonianos y el uso de la geometría y el álgebra no trivial lo inspiraron para formular un principio que resumiera toda la teoría de una manera mucho más compacta y sencilla.

Su idea “abarcaba todo lo descubierto acerca de las formas y posiciones de las líneas a lo largo de las cuales se propaga la luz”, según señalaba. Su enunciado fundamental, el ahora conocido como “principio de mínima acción”, puede resumirse en una frase: “un rayo de luz siempre recorre el camino en que el tiempo de transcurso de un punto a otro es mínimo”.

Un siglo después, el principio de mínima acción pasó a formar parte de la mecánica cuántica y la física atómica, consolidando la teoría hamiltoniana como un marco común para procesos clásicos y cuánticos.

El primer matemático de su época

En 1823, Hamilton ocupó el primer puesto entre los 100 aspirantes a ingresar al elitista Trinity College dublinés. Fue tal su celebridad en su época de universitario que algunos pensaron que había aparecido un nuevo Newton. “Este joven no será, sino que es el primer matemático de su época”, se dijo de él en el recinto de la Academia Real Irlandesa, ante la que presentó la primera parte de su investigación sobre el sistema de rayos.

Concluida su estancia universitaria, a los 22 años, la fortuna lo encumbró aún más. Tras la renuncia del titular por haber sido nombrado obispo, y a pesar de que uno de sus contrincantes fue años después el astrónomo real de Inglaterra, el claustro de profesores del Trinity College eligió al joven Hamilton para ocupar la cátedra de astronomía de la institución, cargo que conllevaba la dirección del Observatorio Astronómico de Dunsink.

No obstante, Hamilton presintió que no llegaría muy lejos en esa encomienda astronómica y decidió enfocar sus esfuerzos al estudio de las matemáticas. Al año siguiente publicó el complemento a “los curiosos descubrimientos” que había hecho cuando tenía 17, la primera parte de Una teoría de los sistemas de rayos, su gran obra.

Las técnicas que Hamilton aplicó en este texto siguen siendo indispensables en la física matemática. Esta teoría de los rayos de luz logró uno de los triunfos más rápidos y espectaculares en el mundo de las matemáticas.

Los cuaterniones

Además de Una teoría de los sistemas de rayos, en octubre de 1843, después de años de “meditaciones estériles”, paseando con su esposa por el Canal Real de Dublín, mientras cruzaba el puente Brongham vino a la mente de Hamilton la estructura de los cuaterniones, grabada de inmediato tan gran inspiración con la punta de su navaja en la piedra del puente.

¿Qué son los cuaterniones? Conjuntos de cuatro números que, satisfaciendo ciertas reglas de igualdad, adición y multiplicación, son de gran utilidad en el estudio de cantidades en el espacio tridimensional que requieren conocer magnitud y dirección.

Esta es la fórmula matemática: i² = j² = k² = ijk = −1

Estos conjuntos numéricos son una generalización de los números reales, similar a la de los números complejos pero con tres unidades imaginarias: i, j, k, en vez de una. Además de su importancia en el álgebra, se aplican en física para representar rotaciones en el espacio, así como en el electromagnetismo, en la mecánica cuántica y hasta en robótica.

Las investigaciones de Hamilton en este campo habían comenzado años antes con un innovador enfoque sobre parejas algebraicas de números, en el cual la entidad básica ya no eran números simples, sino parejas ordenadas de números. Y empleó esta idea para desarrollar una rigurosa teoría sobre los números complejos. Este trabajo fue considerado un intento pionero de dotar al álgebra de una base axiomática parecida a la de la geometría.

La geometría de números complejos se basa en vectores bidimensionales sobre un plano. En su intento por llevar a cabo una generalización de su trabajo en el espacio tridimensional, los fracasos se sucedieron durante años al no lograr resolver problemas fundamentales cuando intentaba aplicar «tripletes» análogos a las parejas en un espacio bidimensional.

Tripletes y cuadripletes

Caminando por el Canal Real recibió la crucial inspiración: las operaciones geométricas en el espacio tridimensional no requieren «tripletes», sino «cuadripletes».

La razón era sencilla, mientras que en un plano bastan parejas algebraicas, ya que son equivalentes a un multiplicador y un ángulo, en el espacio tridimensional la orientación del plano sobre sí mismo es variable, lo cual necesita dos números más para ser descrita.

El descubrimiento de Hamilton fue una ruptura con la tradición, porque abandonaba la ley conmutativa propia de la multiplicación (ab = ba).

Los últimos 22 años de su vida los dedicó al desarrollo del álgebra de cuaterniones y sus aplicaciones.

Su trabajo fue publicado póstumamente en 1866 bajo el título de Los elementos de los cuaterniones. Desafortunadamente, William Rowan Hamilton creyó que los cuaterniones serían adaptados para la resolución de problemas de física aplicada, pero fue la versión más simplificada de J. Willard Gibbs, conocida como análisis vectorial, la adoptada por los matemáticos y físicos. No obstante, el valor de su descubrimiento descansa en las matemáticas puras, donde permitió el desarrollo del álgebra abstracta moderna.

Hamilton fue un hombre verdaderamente entregado a la ciencia, sin ánimo de celebración soberbia de sus triunfos. Y así lo anotó: “Desde hace mucho tiempo he admirado la descripción que hace Ptolomeo de su gran maestro astronómico Hiparco, como un hombre que amó el trabajo y que amó la verdad. Será mi epitafio”.

Por José Antonio Alonso García